Question

14．设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[-16，16]．

Answer 1

分析 画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围

解答 解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，-1），（-1，0），

关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，
当a＞0，b＞0时满足题意，可得$\frac{2}{b}$≥1，$\frac{8}{a}$≥1，可得0＜ab≤16，
当a＞0，b＜0时满足题意，可得$\frac{2}{b}≤$-1，$\frac{8}{a}≥1$，可得：-2≤b＜0，0＜a≤8可得-16≤ab＜0，
当a＜0，b＞0时满足题意，可得$\frac{2}{b}≥1$，$\frac{8}{a}≤-1$，可得：0＜b≤2，-8≤a＜0可得-16≤ab＜0，
当a＜0，b＜0时满足题意，可得$\frac{2}{b}≤-1$，$\frac{8}{a}≤-1$，可得：-2≤b＜0，-8≤a＜0，∴0＜ab≤16，
当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；
故ab的取值范围是：[-16，16]；
故答案为：[-16，16]．

点评 本题考查线性规划的应用，考查分类讨论的应用，可以利用特殊值方法判断求解．