题目内容
【题目】若直线与曲线满足下列两个条件:()直线在点处与曲线相切; ()曲线在点附近位于直线的两侧,则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线;
②直线在点处“切过”曲线;
③直线在点处“切过”曲线;
④直线在点处“切过”曲线.
【答案】①③
【解析】①∵, ,
∴,
∴曲线在点处切线为,
当时, ,
当时, ,
即曲线在点附近位于直线的两侧,①正确;
②设,
,
当时, , 在是减函数,
当时, , 在是增函数,
∴,
即在上恒成立,
∴曲线总在直线下方,不合要求,②不正确;
③∵, ,
∴,
∴曲线在点处切线为,
设, ,
∴是减函数,
又∵,
∴当时, ,即,
曲线在切线的下方,
当, ,即,
曲线在切线的上方,③正确;
④设, ,
当时, ,
当时, ,函数在区间上是减函数,
当时, ,函数在区间上是增函数,
∴,
即在上是恒成立,
∴总在直线上方,不合要求,④不正确.
综上,正确命题有①③.