题目内容
【题目】已知椭圆的长轴长为
,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率;
(Ⅱ)设点,动点
在椭圆
上,且
在
轴的右侧,线段
的垂直平分线
与
轴相交于点
,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为,离心率为
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆长轴长为可得
,解出
即可得椭圆方程即离心率;(Ⅱ)设点
,利用中点坐标公式可得:线段
的中点
坐标,由垂直平分线可可得直线
的斜率为
,利用直线
的方程可得
的纵坐标,又
,得
,可得
,利用基本不等式的性质即可得出.
试题解析:(Ⅰ)因为椭圆的长轴长为,所以
所以,所以
,
,而
,所以
所以椭圆的方程为,离心率为
.
(Ⅱ)设,因为点
在椭圆
上,且
在
轴的右侧, 所以
,
因为,所以
的中点
,
,所以线段
的垂直平分线的斜率
,且过点
,所以线段
的垂直平分线的方程为
令,则
,而
所以
,当且仅当
即
时等号成立,所以
的最小值为
.

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