Question

【题目】已知函数 f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0 且 a≠1．

（1）判断 f（x）的奇偶性并予以证明；

（2）当 a＞1 时，求使 f（x）＞0 的 x 的解集．

Answer 1

【答案】 (1)见解析(2) {x|0＜x＜1}．

【解析】分析：（1）先求出函数的定义域为，对任意，求出，由此得到函数是奇函数；

（2）由得，由此利用对数函数性质能求出不等式的解集.

详解：（1）由题知，解得：﹣1＜x＜1，

∴函数 f（x）的定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数．

证明：∵函数 f（x）的定义域为（﹣1，1），所以对任意 x∈（﹣1，1），

f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1﹣（﹣x））=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

所以函数 f（x）是奇函数．

（2）∵a＞1，f（x）＞0，∴loga（x+1）＞loga（1﹣x），

∴，解得 0＜x＜1，

所以不等式 f（x）＞0 的解集为{x|0＜x＜1}．