题目内容
【题目】已知 f(x+1)=f(x﹣1),f(x)=f(﹣x+2),方程 f(x)=0 在[0,1]内有且只有一个 根 x=,则 f(x)=0 在区间[0,2016]内根的个数为( )
A. 2015 B. 1007 C. 2016 D. 1008
【答案】C
【解析】分析:由条件推出,进而推出
为偶函数,且
是周期等于2的周期函数,根据
,求出
,从而得到函数
在一个周期的零点个数,且函数
在每两个整数之间都有一个零点,从而得到
在区间
内根的个数.
详解:,
的图象关于直线
对称,即
,
又,
,即
,
故函数为偶函数,
再由可得
,
故函数是周期为2的周期函数,
,
,
再由周期性得,
故函数在一个周期
上有2个零点,
即函数在每两个整数之间都有一个零点,
在区间
内根的个数为2016.
故选:C.

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