Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，

∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b= a，

∴cosB= = = ；

（2）解：∵b2=ac，

∴cosB= = ≥ = ，

∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，

∴B∈（0， ]，即角B的最大值为 ，

此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，

则△ABC为等边三角形．

【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入计算即可求出值；（2）由表示出的cosB，将b2=ac代入利用基本不等式变形求出cosB的最小值，由余弦函数在[0，π]上为减函数，确定出B的最大值，由此时a=c及b2=ac，得出三角形ABC为等边三角形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．