Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆与的离心率相等．椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于A，B两点，射线与椭圆交于点C，椭圆的右顶点为D．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若的面积为，求直线的方程；

（3）若，求证：四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题得，解方程即得的值，即得椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，联立，得到韦达定理，再根据求出的值，即得直线的方程；

（3）设先求出的坐标，得到．所以，又，所以．即得四边形是平行四边形．

（1）由题意知，椭圆的长轴长，短轴长，焦距，

椭圆的长轴长，短轴长，焦距．

因为椭圆与的离心相等，所以，即，

因为，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为椭圆右焦点为，且A，O，B三点不共线，

设直线的方程为，联立，

消x得．

设，，，

所以，

即．

因为

，

化简得，所以，

所以直线的方程为，即．

（3）因为，所以．

因为，所以，

所以

因为在椭圆上，

所以，所以消，得．

代入，由对称性不妨设，所以，

从而得，，

即．

所以，直线的方程为，

联立，得．

由题知，所以，所以．

又，所以．

又因为不共线，所以，

又，且不共线，所以．

所以四边形是平行四边形．