题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点
，且
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为
，
，点
是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线
，
与直线
分别交于点
，
，求证：以线段
为直径的圆过定点
，
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）将
代入椭圆方程求出
点纵坐标，得到
，且等于
，再由离心率和
关系，即可求解；
（Ⅱ）设点
，求出线
，
的斜率
，
，由点
的椭圆上，得到
为定值，分别求出
坐标，证明
即可.
（Ⅰ）代入椭圆方程得
，
由
，得
，
又因为
且
，
得
，
，
，
所以椭圆
的方程为.
（Ⅱ）设点，
则
得
，
又设直线，的斜率分别为，，
则
，
，
所以
，
∴直线：
，直线：
，
所以点
，
，
由
，
所以以线段
为直径的圆过定点
，
同理，以线段为直径的圆过定点
.
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