题目内容
【题目】如图所示的镀锌铁皮材料ABCD,上沿DC为圆弧,其圆心为A,圆半径为2米,AD⊥AB,BC⊥AB,且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上、E在线段AB上,F在线段AD上)做圆柱的侧面,若以PE为母线,问如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?
【答案】见解析
【解析】
分别以AB、AD所在直线为轴、
轴建立直角坐标系
,求出
,再利用导数求圆柱的体积最大值和裁剪方法.
分别以AB、AD所在直线为轴、
轴建立直角坐标系
,则圆弧DC的方程为:
,设
,圆柱半径为
,体积为
,则
,
,
,
∴,
,
设,
,
,令
,得
当时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数,
∴当时,
有极大值,也是最大值,
∴当米时,
有最大值
米3,此时
米,
答:裁一个矩形,两边长分别为和
,能使圆柱的体积最大,其最大值为
。
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