Question

14．求下列函数的值域：
（1）y=5${\;}^{\sqrt{1-x}}$；
（2）y=-4^x+2^x+2；
（3）y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$（x≤1）．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{1-x}≥0$，根据指数函数y=5^x的单调性即可得出该函数的值域；
（2）可配方得到y=-（2^x-2）²+4，显然看出y≤4；
（3）先分离常数，得到$y=1-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可根据x≤1求出2^x+1的范围，进而得出$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范围，从而得出该函数的值域．

解答 解：（1）$\sqrt{1-x}≥0$；
∴${5}^{\sqrt{1-x}}≥{5}^{0}=1$；
∴该函数的值域为：[1，+∞）；
（2）y=-4^x+2^x+2=-（2^x）²+4•2^x=-（2^x-2）²+4≤4；
当2^x=2即x=1时取“=”；
∴该函数的值域为：（-∞，4]；
（3）$y=\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
∵x≤1；
∴2^x+1≤3；
∴2^x+1＜0，或0＜2^x+1≤3；
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$，或$\frac{1}{{2}^{x}+1}≥\frac{1}{3}$；
∴y＞1，或$y≤\frac{2}{3}$；
∴该函数的值域为：（$-∞，\frac{2}{3}$]∪（1，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，指数函数的单调性，配方法求二次式子的值域，分离常数法在求值域中的运用，根据不等式的性质求函数值域．