题目内容
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
证明见解析．
本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ——1分
则f (x2) －f (x1) =
= (x1－x2) (
) ——3分
∵ x1<x2，∴ x1－x2<0． ——4分
当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分
当x1x2≥0时，有>0；
∴f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1)，所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ——1分
则f (x2)－f (x1)=x
－x
= (x1－x2) ()． ——3分
∵x1<x2，∴x1－x2<0． ——4分
∵x1，x2不同时为零，∴x
＋x
>0．
又∵x＋x>
(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2。∴>0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0． ——8分
即f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ——1分
则f (x2) －f (x1) =
= (x1－x2) () ——3分∵ x1<x2，∴ x1－x2<0． ——4分
当x1x2<0时，有
= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分当x1x2≥0时，有
>0；∴f (x2)－f (x1)= (x1－x2)(
)<0． ——8分即 f (x2) < f (x1)，所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ——1分
则f (x2)－f (x1)=x
－x= (x1－x2) ()． ——3分∵x1<x2，∴x1－x2<0． ——4分
∵x1，x2不同时为零，∴x
＋x>0．又∵x
＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2。∴>0，∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) (
)<0． ——8分即f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
练习册系列答案
相关题目
在［1,2］上的最小值为1，最大值为2,求
的解析式.
，都有
，且
时，f(x)<0，f(1)=－2．
时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.
，
是
的零点，且
，则实数a、b、m、n的大小关系是
的最大值为 。
是（ ）
的值域为（ ）
的最大值为M，最小值为m则
为（ ）
