题目内容
【题目】如图 1,在直角梯形中,
,且
.现以
为一边向外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使
平面与平面
垂直,
为
的中点,如图 2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)取EC中点N,连结MN,BN.由几何关系可证得四边形ABNM为平行四边形.则BN∥AM,利用线面平行的判定定理可得平面
;
(2) 由几何关系有ED⊥AD,利用面面垂直的性质定理可得ED⊥平面ABCD,则ED⊥BC,利用直角梯形的性质结合勾股定理可得BC⊥BD,据此由线面垂直的判定定理有平面
;
(3) 作平面PEC于点H,连接CH,则∠DCH为所求的角,利用三棱锥体积相等转化顶点有:
,据此可求得
,利用三角函数的定义可得
与平面
所成角的正弦值是
.
试题解析:
(1)证明:取中点
,连结
.
在中,
分别为
的中点,
所以,且
.
由已知,
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面
,且
平面
,
所以平面
.
(2)证明:在正方形中,
,
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
.
所以
在直角梯形中,
,可得
.
在中,
.
所以.
所以平面
.
(3)作于点
,连接
,则
为所求的角
由(2)知,
所以,又因为
平面
又.
所以,
.
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