Question

【题目】设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣4.3]=﹣5．给出下列命题： ①对任意实数x，都有[x]﹣x≤0；
②若x1≤x2 ， 则[x1]≤[x2]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函数f（x）= ﹣ ，则y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{﹣1，0}．
其中所有真命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：对于①，对任意实数x，都有[x]﹣x≤0，满足新定义∴①正确．

对于②，x1≤x2，则[x1]≤[x2]，∴②正确．

对于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]

=0+1×90+2=92，∴③不正确．

对于④，函数f（x）= ﹣ = ，

同理可得，f（﹣x）∈（﹣ ， ），

当f（x）∈ 时，f（﹣x）∈（0， ），∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，

同理当f（﹣x）∈ 时，f（x）∈（0， ），∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，

当f（x）=0时，f（﹣x）=0，∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=0，

综上，y=[f（x）]+[f（﹣x）]={﹣1，0}

∴④正确．

故答案为：①②④．

直接利用定义判断①②的正误；利用对数值以及新定义求解判断③的正误；先由题意先化简函数f（x）= ﹣ ，通过f（x）与f（﹣x）的值域讨论，求出f（x）]+[f（﹣x）]的值，判断④的正误．