Question

13．如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A，直线MA垂直x轴于点M，B是直线y=x与MA的交点，设f（α）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
（1）求f（α）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用平面向量的数量积运算法则确定出f（α）的解析式即可；
（2）根据f（α）的解析式，由已知求出tan（45°-α）的值，原式变形后利用两角和与差的正切函数公式化简，即可求出值．

解答 解：（1）∵角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A，直线MA垂直x轴于点M，B是直线y=x与MA的交点，
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos（45°-α）=cos（45°-α）；
（2）∵f（α）=cos（45°-α）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（45°-α）=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，即tan（45°-α）=$\frac{4}{3}$，
则tanα=tan[45°-（45°-α）]=$\frac{tan45°-tan（45°-α）}{1+tan45°tan（45°-α）}$=$\frac{1-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{7}$．

点评 此题考查了任意角的三角函数定义，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．