Question

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1．设集合P={-1，1，2，3，4，5}，集合 Q={-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：由题意可得a＞0且

2b

a

≤1，即a≥2b，且a＞0．分类一一列举出求出满足条件的数对（a，b）共有16个，而所有的数对（a，b）有6×6=36个，由此可得所求概率P的值．

解答：解：二次函数f（x）=ax²-4bx+1图象的对称轴为x=

2b

a

．要使y=f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，应有a＞0且

2b

a

≤1，∴a≥2b，且a＞0．（3分）
①若a=1，则b=-2，-1；
②若a=2，则b=-2，-1，1；
③若a=3，则b=-2，-1，1；
④若a=4，则b=-2，-1，1，2；
⑤若a=5，则b=-2，-1，1，2，（9分）
∴故满足条件的数对（a，b）共有16个，而所有的数对（a，b）有6×6=36个，
∴所求概率P=

16

6×6

=

4

9

．（12分）

点评：本题考查二次函数的性质，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．