题目内容

已知关于x的二次函数f(x)=ax2-8bx+1.
(1)设集合M={1,2,3}和N={-1,1,2,3,4,5},从集合M中随机取一个数作为a,从N中随机取一个数作为b,求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率;
(2)设点(a,b)是区域
x+y-6≤0
x>0
y>0
内的随机点,求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率.
分析:(I)记事件A=“函数y=f(x)在区间上是增函数”,根据二次函数的图象与性质,可得A包含的基本事件需满足a∈M、b∈N且2b≤a,由此可得共有5个基本事件,再由古典概型计算公式即可算出所求的概率.
(II)作出不等式组表示的平面区域,得到△AOC及其内部,其中A(6,0),B(0,6).再由(I)的不等式组解出符合题意的不等式组表示的平面区域为△AOB及其内部,其中B(4,2),由此结合几何概型计算公式即可算出相应的概率.
解答:解(Ⅰ)∵函数f(x)=ax2-8bx+1的图象的对称轴为x=
4b
a

∴要使f(x)=ax2-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数,
当且仅当a>0且
4b
a
≤2
,即2b≤a.…2′
由此可得:若a=1,则b=-1;若a=2则b=±1;若a=3,则b=±1.…5′
记事件A=“函数y=f(x)在区间上是增函数”
则事件A包含基本事件的个数是1+2+2=5个
因此,所求事件A的概率为P(A)=
5
18
.…7′
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当且仅当2b≤a且a>0时,函数f(x)=ax2-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数,
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为:
a+b-6≤0
a>0
b.0

对应图中的△AOC及其内部,其中A(6,0),B(0,6)
而构成所求事件的区域为△AOB部分及其内部,如图所示.…9′
a+b-6=0
b=
a
2
解得交点为B(4,2).…11′
∴函数在区间[2,+∞)上是增函数的概率为P=
S△AOB
S△AOC
=
1
2
×6×2
1
2
×6×6
=
1
3
.…14′.
答:两种情况下,函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率分别为
5
18
1
3
点评:本题着重考查了二次函数的图象与性质、古典概型和几何概型计算公式,考查了二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题.
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