题目内容
已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1
(Ⅰ)设集合P={1,2,3},集合Q={-1,1,2,3,4},从集合P中随机取一个数作为a,从集合Q中随机取一个数作为b,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;
(Ⅱ)设点(a,b)是区域
内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
(Ⅰ)设集合P={1,2,3},集合Q={-1,1,2,3,4},从集合P中随机取一个数作为a,从集合Q中随机取一个数作为b,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;
(Ⅱ)设点(a,b)是区域
|
分析:(Ⅰ)根据古典概率的概率公式进行计算即可求出概率.
(Ⅱ)根据几何概型的概率公式进行计算即可.
(Ⅱ)根据几何概型的概率公式进行计算即可.
解答:解(Ⅰ)∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=
,
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
当且仅当a>0且x=
≤1,
即2b≤a.
若a=1,则b=-1;
若a=2,则b=-1,1;
若a=3,则b=-1,1,
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
=
.
(Ⅱ)由(1)知当且仅当2b≤a.且a>0时,
函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|
}
构成所求事件的区域为三角形部分.
由
,解得a=
,b=
,即交点坐标(
,
),
∴所求事件的概率为P=
=
.
2b |
a |
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
当且仅当a>0且x=
2b |
a |
即2b≤a.
若a=1,则b=-1;
若a=2,则b=-1,1;
若a=3,则b=-1,1,
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
5 |
15 |
1 |
3 |
(Ⅱ)由(1)知当且仅当2b≤a.且a>0时,
函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|
|
构成所求事件的区域为三角形部分.
由
|
16 |
3 |
8 |
3 |
16 |
3 |
8 |
3 |
∴所求事件的概率为P=
| ||||
|
1 |
3 |
点评:本题只要考查概率的求法,要求熟练掌握古典概型和几何概型的概率公式,注意它们之间的联系和区别.
练习册系列答案
相关题目