Question

已知关于x的二次函数f（x）=x²+（2t-1）x+1-2t．
（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；
（2）若方程f（x）=0在区间（-1，2）上有两个实数根，求t的范围．

Answer 1

分析：（1）欲使得对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根，只须其根的判别式大于等于0，由此只须验证△≥0即可；
（2）欲使方程f（x）=0在区间（-1，2）上有两个实数根，结合二次函数的图象可得：①△≥0；②对称轴在-1与2之间；③函数在x=-1和x=2处的函数值均为正，据此三点列出不等关系解之即得t的范围．

解答：解：（1）f（x）=1即x²+（2t-1）x-2t=0
△=（2t-1）²+8t=（2t+1）²≥0
∴f（x）=1必有实数根．
（2）若f（x）=0在（-1，2）上有两个实数根
∴

△=(2t-1)2-4(1-2t)≥0 -1＜- 2t-1 2 ＜2 f(-1)＞0 f(2)＞0

得

t≥ 1 2 或t≤- 3 2 - 3 2 ＜t＜ 3 2 t＜ 3 4 t＞- 3 2

得

1

2

≤t＜

3

4

所以t的范围为[

1

2

，

3

4

)．

点评：本小题主要考查二次函数的性质、二次函数根的判别式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．