Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．
（1）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=﹣x+5垂直，求实数a的值．
（2）x0∈[1，e]，使得 ≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣ ，

即有曲线f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为2﹣a，

由切线与直线y=﹣x+5垂直，可得2﹣a=1，

解得a=1

（2）解：x0∈[1，e]，使得 ≤0成立，

即有x0∈[1，e]，使得f（x0）+1+a≤0成立，

由lnx0∈[0，1]，则1﹣lnx0∈[0，1]，

即有x0∈[1，e]，﹣a≥ 的最小值，

由y= 的导数为y′= ，

由于3﹣2lnx0∈[1，3]，则导数大于0，

即有函数y在[1，e]递增，

则函数的最小值为2，

即有﹣a≥2，解得a≤﹣2．

则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]

【解析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求a的值；（2）由题意可得x0∈[1，e]，使得f（x0）+1+a≤0成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性即可得到最小值，进而得到a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．