题目内容
【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:在定义域
内存在实数
,使得
成立.
(1)已知函数,判断 函数
是否属于集合
;
(2)若函数属于集合
,试求实数
的取值范围;
(3) 证明函数属于集合
.
【答案】(1) 函数不属于集合
;(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据题意,分析在定义域内存在实数
,使得
成立即可.
(2)根据题意可知存在实数,使得
.再换元利用零点存在定理列式求解即可.
(3)根据题意化简可得即证在定义域内有解,再用零点存在定理证明即可.
(1)由题,若属于集合
则存在
使得
成立.
即无实数解.故函数
不属于集合
.
(2)因为属于集合
,故存在
满足
.
即,令
,则
存在大于0的实数根.
即存在大于0的实数根.故
,
解得.
(3)由题即证在定义域内存在实数
,
使得成立.
即.设
,
则,又
.
根据零点存在定理可知,存在使得
.
即数属于集合
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