Question

如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE

为平行四边形，DC平面ABC ,，．
（1）证明：平面ACD平面；
（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；
（3）当取得最大值时，求证：AD=CE．

Answer 1

（）

解：（１）证明：∵四边形DCBE为平行四边形 ∴，---------1分
∵DC平面ABC ,平面ABC  ∴． ----------2分
∵AB是圆O的直径 ∴且     
∴平面ADC． 
∵DE//BC  ∴平面ADC ---------------------------------------3分
又∵平面ADE  ∴平面ACD平面----------------4分
（2）∵DC平面ABC ,  CD//BE ∴平面ABC
∵平面   ∴BEAB, --------------------------------------------------------5分
在Rｔ△ABE中，由,得------------6分
在Rｔ△ABC中∵（）
∴------------------------------------7分
∴（）-------8分
（3）由（2）知要取得最大值，当且仅当取得最大值，
∵   ∴------------10分
∴当且仅当，即时，“＝”成立，
即当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形
连结DB , ∵AC=BC,DC=DC
∴≌ ------------------12分 
∴AD="BD " 又四边形BCDE为矩形 ∴
∴AD=CE------------------------------------------------------------14分