题目内容
如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．
| 2 |
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．
（I）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，PA2+AB2=2a2=PB2∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）
（II）作EG∥PA交AD于G
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，
作GH⊥AC于H，连接EH，
∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角（9分）
∵PE：ED=2：1，∴EG=
a，AG=
a
在△AGH中，GH=AG•sin60°=
a×
=
a，
∴tan∠EHG=
=
，∴∠EHG=
，
即面EAC与面DAC所成二面角的大小为
（13分）
在△PAB中，PA2+AB2=2a2=PB2∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）
（II）作EG∥PA交AD于G
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，
作GH⊥AC于H，连接EH，
∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角（9分）
∵PE：ED=2：1，∴EG=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
在△AGH中，GH=AG•sin60°=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
∴tan∠EHG=
| EG |
| GH |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
即面EAC与面DAC所成二面角的大小为
| π |
| 6 |
练习册系列答案
相关题目
