Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A.xα∈R，f（xα）=0
B.函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C.若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D.若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2 ， 列表如下

x	（﹣∞，x1）	x1	（x1 ， x2）	x2	（x2 ， +∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵ +f（x）= +x3+ax2+bx+c= ﹣ +2c，
= ，
∵ +f（x）= ，
∴点P 为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1 ， x2分别为极值点，则 ，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
（2）当△≤0时， ，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．