Question

【题目】(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；

(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos ∠BAC的值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，

∵b∥c，∴－4－2y＝0，y＝－2.

∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，

∴|a＋b|＝＝.

设a＋b与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a＋b与c的夹角为.

(2)设AC的中点为D，连接OD(图略)，

∵＝x＋y＝x＋2y，

又x＋2y＝1，∴O，B，D三点共线．

由O为△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，

在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝AC＝2，所以cos ∠BAC＝＝.