题目内容

【题目】已知函数.

(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;

(2)设,若不等式对任意恒成立,求的取值范围.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)先对函数求导,然后对讨论.当时,上恒成立,函数单调递增,∴上没有极值点.当时,上递减,在上递增,即处有极小值,无极大值.

(2)设,不等式对任意恒成立,即函数上的最小值大于零.所以求出的最小值,由最小值大于零求出的取值范围.

试题解析:(1)

时,上恒成立,

函数单调递增,∴上没有极值点.

时,

上递减,在上递增,即处有极小值,无极大值.

∴当时,上没有极值点,

时,上有一个极值点.

(2)设

不等式对任意恒成立,即函数上的最小值大于零.

①当,即时,上单调递减,

所以的最小值为

可得

因为,所以.

②当,即时,上单调递增,

所以最小值为,由可得,即.

③当,即时,可得最小值为

因为,所以

.

综上可得,的取值范围是.

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