题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)设,若不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先对函数求导,然后对讨论.当
时,
在
上恒成立,函数
在
单调递增,∴
在
上没有极值点.当
时,
在
上递减,在
上递增,即
在
处有极小值,无极大值.
(2)设,不等式
对任意
恒成立,即函数
在
上的最小值大于零.所以求出
的最小值,由最小值大于零求出
的取值范围.
试题解析:(1),
当时,
在
上恒成立,
函数在
单调递增,∴
在
上没有极值点.
当时,
得
,
得
,
∴在
上递减,在
上递增,即
在
处有极小值,无极大值.
∴当时,
在
上没有极值点,
当时,
在
上有一个极值点.
(2)设
,
,
不等式对任意
恒成立,即函数
在
上的最小值大于零.
①当,即
时,
在
上单调递减,
所以的最小值为
,
由可得
,
因为,所以
.
②当,即
时,
在
上单调递增,
所以最小值为
,由
可得
,即
.
③当,即
时,可得
最小值为
,
因为,所以
,
故.
即,
综上可得,的取值范围是
.
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