题目内容
【题目】已知两定点
，
，点P满足
.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若
，直线l与轨迹C交于A，B两点，
，
的斜率之和为2，问直线l是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）直线l过定点，定点为
【解析】
（1）设P的坐标为
，由题意得，得到方程化简即可；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设
，
，直线l的方程为
，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理根据
得到
、
的关系，即可求出直线过的定点.
解：（1）设P的坐标为，由题意得，
化简得：
（2）当直线l的斜率不存在时，
设
，
则有
，得
，此时直线l与圆相切，不合题意.
当直线l的斜率存在时，
设，，直线l的方程为，与轨迹C联立得
，
，
，
所以
所以
所以直线l的方程为
所以直线l过定点.
金钥匙试卷系列答案
【题目】中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数 |
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人数 | 20 | 55 | 105 | 70 | 50 |
参加自主招生获得通过的概率 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 0.5 | 0.4 |
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | |||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 |
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为
，求
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式：
，其中
.
