Question

【题目】已知椭圆E：（）的焦距为，直线：与x轴的交点为G，过点且不与x轴重合的直线交E于点A，B.当垂直x轴时，的面积为.

（1）求E的方程；

（2）若，垂足为C，直线交x轴于点D，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【解析】

（1）由题意可得，即，由三角形的面积公式可得，由在椭圆上，代入椭圆方程，解方程可得，，进而得到椭圆方程；

（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，，，运用韦达定理，求得直线的方程，可令，求得，再与作差，计算可得证明．

解：（1）由焦距为，可得，即，即，①

由题意可得，，

可得，由在椭圆上，可得，②

由①②解得，，

则椭圆的方程为；

（2）证明：过点且不与轴重合的直线的方程为，

联立椭圆方程，可得，

设，，，

则，，

可得直线的方程为，

令，可得，

由，

，可得，

则．