题目内容
【题目】已知函数图像上一点
处的切线方程为
(1)求的值;
(2)若方程在区间
内有两个不等实根,求
的取值范围;
(3)令如果
的图像与
轴交于
两点,
的中点为
,求证:
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据导数的几何意义可知,利用切线方程求得
,代入曲线可得关于
的方程,与
联立可构造方程组求得结果;(2)将问题转化为
与
的图象在
上有两个交点;利用导数得到
在
上的单调性和最值,从而确定有两个交点时
的取值范围,进而得到结果;(3)采用反证法,假设
,利用
在
上,中点坐标公式和
可化简整理得到
,令
,构造函数
,利用导数可知
在
上单调递增,从而得到
,与等式矛盾,可知假设不成立,从而证得结论.
由题意得:定义域为
;
(1)在
处的切线方程为:
,解得:
(2)方程在区间
内有两个不等实根等价于
与
的图象在
上有两个交点
由(1)知:,
当
时,
;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减
又,
,解得:
(3),则
假设,则有:
…①;
…②;
…③;
…④
①②得:
由④得:
,即:
,即
令,由
得:
设,
在
上单调递增
不成立,即假设不成立
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