题目内容
【题目】如图，在梯形
中，
，
，
，
，四边形
是菱形，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由勾股定理可得
，结合面面垂直的性质有
.由菱形的性质可得
，则
平面
，
.
(Ⅱ)取
的中点
，连接
，以
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，据此计算可得平面
的法向量
，平面
的法向量
.
则二面角
的平面角的余弦值
，正切值为.
试题解析：
(Ⅰ)依题意，在等腰梯形
中，
，
，
∵
，∴
即，
∵
，∴
，而
，∴.
连接
，∵四边形
是菱形，∴，
∴
，∵
，∴.
(Ⅱ)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且
.
所以由平面几何易知
，∵，∴
.
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：
，
，
，
，
，
.
设平面和平面的法向量分别为
，
，
∵
，
.
∴由
，令
，则，
同理，求得.
∴，故二面角的平面角的正切值为.
练习册系列答案
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【题目】某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数
依次为1，2，3，…，8，其中
为标准
， 
为标准
．已知甲车间执行标准
，乙车间执行标准
生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲车间的等级系数
的概率分布列如下表，若
的数学期望E(X1)=6.4，求
， 
的值；
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
|
|
|
（2）为了分析乙车间的等级系数
，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数
的概率分布列和均值；
（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准
的概率．
