Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合 的关系列出关于 、 、的方程组，求出 、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.

试题解析：（1）由题意可得， 令，可得，即有，

又，所以，．

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，，直线方程为，

代入椭圆方程，整理得，

则，所以．

∴

当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．

则面积的最大值是．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.