题目内容

【题目】设函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)不存在,使得.

【解析】试题分析】(1)先对函数求导,再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函数的符号,进而运用分类整合思想对实数进行分三类进行讨论并判定其单调性,求出单调区间;(2)先假设满足题设条件的参数存在,再借助题设条件,推得,即,亦即

进而转化为判定函数上是单调递增的问题,然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证,从而作出判断:

解:(Ⅰ) 定义域为

①当时, ,故上单调递增,

②当时, 的两根都小于零,在上,

上单调递增,

③当时, 的两根为

时, ;当时, ;当时,

分别在上单调递增,在上单调递减.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

因为.

所以,

又由(1)知, ,于是

若存在,使得,则,即

亦即

再由(Ⅰ)知,函数上单调递增,

,所以,这与()式矛盾,

故不存在,使得.

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