题目内容
(2012•通州区一模)在直角坐标系中,点O为坐标原点,已知
=(-
,0),
=(2i-1,0)(i=1,2,3…,n,…),△AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)是等边三角形,且点B1,B2…Bn…在同一条曲线C上,那么曲线C的方程是
OA1 |
1 |
4 |
AiAi+1 |
y2=3x;
y2=3x;
;设点Bn(i=1,2,…n…)的横坐标是n(n∈N*)的函数f(n),那么f(n)=(n-
)2
1 |
2 |
(n-
)2
.1 |
2 |
分析:根据
=(-
,0),
=(2i-1,0)(i=1,2,3…,n,…),△AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)是等边三角形,且点B1,B2…Bn…在同一条曲线C上,可得Bn横坐标、纵坐标的表达式,由此可得结论.
OA1 |
1 |
4 |
AiAi+1 |
解答:解:设Bn(x,y),则
∵
=(2i-1,0)(i=1,2,3…,n,…),
∴
-
=2i-1
∴
=
+(
-
)+…+
-
=-
+1+3+…+(2i-1)=-
+i2
∵△AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)是等边三角形,
∴x=
[-
+n2-
+(n-1)2]=(n-
)2,y=
[-
+n2+
-(n-1)2]=
(2n-1)
消去n得y2=3x.
∴曲线C的方程是y2=3x,f(n)=(n-
)2
故答案为:y2=3x,f(n)=(n-
)2
∵
AiAi+1 |
∴
OAi+1 |
OAi |
∴
OAi+1 |
OA1 |
OA2 |
OA1 |
OAi+1 |
OAi |
1 |
4 |
1 |
4 |
∵△AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)是等边三角形,
∴x=
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
| ||
2 |
消去n得y2=3x.
∴曲线C的方程是y2=3x,f(n)=(n-
1 |
2 |
故答案为:y2=3x,f(n)=(n-
1 |
2 |
点评:本题主要考查向量在几何中的应用、考查抛物线的标准方程,考查运算求解能力,属于中档题.
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