题目内容
已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.
(Ⅰ)若b=,求数列{b}的通项公式;
(Ⅱ)证明:++…+>(n≥2).
(1)b=(n∈N)
(2)构造函数借助于函数的最值来证明不等式。
解析试题分析:解:(Ⅰ)因为a=2a+aa,即(a+a)(2a-a)=0. 1分
又a>0,所以有2a-a=0,即2a=a
所以数列是公比为2的等比数列, 3分
由得,解得。
从而,数列{a}的通项公式为a=2(n∈N),即:b=(n∈N). 5分
(Ⅱ)构造函数f(x)=-(b-x)(x>0),
则f′(x)=-+=,
当0<x<b时,f′(x)>0,x>b时,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=,所以f(x)≤. 7分
即≥-(b-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的条件是x=b(i=1,2,3…n),
所以++…+>-(b+b+…+b-nx), 9分
令x=,则++…+>,
所以++…+>, 11分
即++…+>(n≥2). 12分
考点:数列与导数、不等式
点评:解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式,同时能结合导数来拍脑袋函数单调性,以及求解函数的最值,同时证明不等式,属于中档题。
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