题目内容

已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.
(Ⅰ)若b=,求数列{b}的通项公式;
(Ⅱ)证明:++…+>(n≥2).

(1)b=(n∈N
(2)构造函数借助于函数的最值来证明不等式。

解析试题分析:解:(Ⅰ)因为a=2a+aa,即(a+a)(2a-a)=0.            1分
又a>0,所以有2a-a=0,即2a=a
所以数列是公比为2的等比数列,              3分
,解得
从而,数列{a}的通项公式为a=2(n∈N),即:b=(n∈N). 5分
(Ⅱ)构造函数f(x)=(b-x)(x>0),
则f′(x)=+=
当0<x<b时,f′(x)>0,x>b时,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=,所以f(x)≤.            7分
(b-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的条件是x=b(i=1,2,3…n),
所以++…+>(b+b+…+b-nx), 9分
令x=,则++…+>
所以++…+>,      11分
++…+>(n≥2).                12分
考点:数列与导数、不等式
点评:解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式,同时能结合导数来拍脑袋函数单调性,以及求解函数的最值,同时证明不等式,属于中档题。

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网