Question

19．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）的值为0．

Answer 1

分析 由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（-1）=1，f（0）=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
则f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x）
所以，f（x）是周期为3的周期函数．
则f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
f（$\frac{1}{2}$）=-f（-1）=-1
∵函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=672[f（1）+f（2）+f（3）]=0
故答案为：0

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），判断出函数的周期性，是解答本题的关键，属于中档题．