题目内容

【题目】关于旋转体的体积,有如下的古尔丁(guldin)定理:平面上一区域D绕区域外一直线(区域D的每个点在直线的同侧,含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积,等于D的面积与D的几何中心(也称为重心)所经过的路程的乘积.利用这一定理,可求得半圆盘,绕直线x旋转一周所形成的空间图形的体积为_____

【答案】2π

【解析】

显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上,设几何中心到原点的距离为x,根据古尔丁(guldin)定理求得球的体积,根据球的体积公式列等式可解得,再根据这一定理即可求得结果.

显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上,设几何中心到原点的距离为x

则由题意得:2πx,解得x

所以几何中心到直线x的距离为:

所以得到的几何体的体积为:V=(2π)=2π

故答案为:

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