题目内容

【题目】如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11ABm,点M是棱CD的中点.

1)求异面直线B1CAC1所成的角的大小;

2)是否存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直?说明理由;

3)设P是线段AC1上的一点(不含端点),满足λ,求λ的值,使得三棱锥B1CD1C1与三棱锥B1CD1P的体积相等.

【答案】190° 2)存在,m,理由见解析 3λ

【解析】

1)根据题意只需证明平面,即可得到B1CAC1,从而可得答案.

2)存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直.只需证明BMAC1AC1D1M,即可得到直线AC1⊥平面BMD1

3)计算,设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O,则AO2OC1PAO的中点,从而可得答案.

1)连接BC1,如图所示:

由四边形BCC1B1为正方形,可得B1CBC1

ABCDA1B1C1D1为长方体,可得ABB1C,而ABBC1B

B1C⊥平面ABC1,而AC1平面ABC1,∴B1CAC1

即异面直线B1CAC1所成的角的大小为90°

2)存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直.

事实上,当m时,CM

BC1,∴,则RtABCRtBCM

则∠CAB=∠MBC

∵∠CAB+ACB90°,∴∠MBC+ACB90°,即ACBM

CC1BMACCC1C,∴BM⊥平面ACC1,则BMAC1

同理可证AC1D1M

D1MBMM,∴直线AC1⊥平面BMD1

3)∵

AC1 与面B1CD1 的斜足为O,则AO2OC1

∴在线段AC1上取一点P,要使三棱锥B1CD1C1与三棱锥B1CD1P的体积相等,

PAO的中点,即

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