题目内容
【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=m,点M是棱CD的中点.
(1)求异面直线B1C与AC1所成的角的大小;
(2)是否存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直?说明理由;
(3)设P是线段AC1上的一点(不含端点),满足λ,求λ的值,使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等.
【答案】(1)90° (2)存在,m,理由见解析 (3)λ
【解析】
(1)根据题意只需证明平面
,即可得到B1C⊥AC1,从而可得答案.
(2)存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直.只需证明BM⊥AC1,AC1⊥D1M,即可得到直线AC1⊥平面BMD1;
(3)计算,
,设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O,则AO=2OC1,则P为AO的中点,从而可得答案.
(1)连接BC1,如图所示:
由四边形BCC1B1为正方形,可得B1C⊥BC1,
又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体,可得AB⊥B1C,而AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1,而AC1平面ABC1,∴B1C⊥AC1,
即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°;
(2)存在实数m,使得直线AC1与平面BMD1垂直.
事实上,当m时,CM
,
∵BC=1,∴,则Rt△ABC∽Rt△BCM,
则∠CAB=∠MBC,
∵∠CAB+∠ACB=90°,∴∠MBC+∠ACB=90°,即AC⊥BM,
又CC1⊥BM,AC∩CC1=C,∴BM⊥平面ACC1,则BM⊥AC1,
同理可证AC1⊥D1M,
又D1M∩BM=M,∴直线AC1⊥平面BMD1;
(3)∵,
,
设AC1 与面B1CD1 的斜足为O,则AO=2OC1,
∴在线段AC1上取一点P,要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等,
则P为AO的中点,即.
