题目内容
【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．
（1）求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；
（2）是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；
（3）设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足
λ，求λ的值，使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等．
【答案】（1）90° （2）存在，m
，理由见解析 （3）λ
【解析】
（1）根据题意只需证明
平面
，即可得到B1C⊥AC1，从而可得答案.
（2）存在实数m
，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直线AC1⊥平面BMD1；
（3）计算
，
，设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，则P为AO的中点，从而可得答案.
（1）连接BC1，如图所示：
由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，
又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1，而AC1平面ABC1，∴B1C⊥AC1，
即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；
（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．
事实上，当m时，CM
，
∵BC＝1，∴
，则Rt△ABC∽Rt△BCM，
则∠CAB＝∠MBC，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，
又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，
同理可证AC1⊥D1M，
又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；
（3）∵
，
，
设AC1 与面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，
∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，
则P为AO的中点，即
．
