Question

4．设集合$A=\{x\left|{\frac{1}{3^5}≤{3^{-x}}≤9}\right.\}$，B={x|x²-3mx+2m²-m-1＜0}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
（2）若B=∅，求m的取值范围．
（3）若A?B，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件：“x∈Z”知集合A中的元素是整数，进而求它的子集的个数；
（2）由条件：“B=∅”知集合B中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m；
（3）由条件：“A?B”知集合B是A的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得．

解答 解：化简集合A={x|-2≤x≤5}，集合B可写为B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}
（1）∵x∈Z，∴A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为2⁸-2=254（个）．
（2）显然只有当m-1=2m+1即m=-2时，B=∅．
（3）当B=∅即m=-2时，B=∅⊆A；
当B≠∅即m≠-2时，
（ⅰ）当m＜-2时，B=（2m+1，m-1），要B⊆A，只要$\left\{\begin{array}{l}{2m+1≥-2}\\{m-1≤5}\end{array}\right.$，∴-$\frac{3}{2}$≤m≤6，∴m的值不存在；
（ⅱ）当m＞-2时，B=（m-1，2m+1），要B⊆A，只要$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥-2}\\{2m+1≤5}\end{array}\right.$，∴-1≤m≤2．
综上所述，m=-2，或-1≤m≤2．

点评 本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算．是一道中档题．