Question

19．已知函数f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$（x∈R，λ∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由：
（2）当λ≥4时，判断函数g（x）=f（x）-μ（μ∈R）在x∈（-∞，1]上是否至多有一个零点？若是，请给予证明，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，即可讨论函数f（x）的奇偶性：
（2）f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，1]上单调递减，即可得出结论．

解答 解：（1）f（-x）=2^-x+$\frac{λ}{{2}^{-x}}$=λ2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴λ=1时，f（-x）=f（x），函数是偶函数；λ≠1时，函数非奇非偶；
（2）当λ≥4时，$\sqrt{λ}$≥2，
∵x∈（-∞，1]，
∴f（x）=2^x+$\frac{λ}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，1]上单调递减，
∴μ≥2+$\frac{λ}{2}$时，函数g（x）=f（x）-μ有一个零点；μ＜2+$\frac{λ}{2}$时，函数g（x）=f（x）-μ没有一个零点．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．