题目内容
10.已知圆O的直径AB=2,C是该圆上异于A、B的一点,P是圆O所在平面上任一点,则$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})•\overrightarrow{PC}$的最小值为$-\frac{1}{2}$.分析 如图所示,延长PO到点D,使得OD=OP,则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$.由于$|\overrightarrow{PO}|+|\overrightarrow{PC}|$=1,利用基本不等式的性质可得:$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$≤$\frac{1}{4}$.再利用数量积的运算性质可得:$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})•\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$,即可得出.
解答 解:如图所示,
延长PO到点D,使得OD=OP,
则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$.
∵$|\overrightarrow{PO}|+|\overrightarrow{PC}|$=1,
∴$1≥2\sqrt{|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|}$,
化为$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$≤$\frac{1}{4}$.
∴$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})•\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$=-2×$\frac{1}{4}$=$-\frac{1}{2}$.
故答案为:-$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | $\frac{5π}{6}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
A. | -1 | B. | 1 | C. | i | D. | -i |
A. | [0,2] | B. | [0,1] | C. | [1,2] | D. | [-2,1] |
A. | [$\frac{5}{7}$,5] | B. | [$\frac{5}{7}$,1] | C. | [$\frac{1}{5}$,$\frac{7}{5}$] | D. | (-∞,$\frac{1}{5}$]∪[$\frac{7}{5}$,+∞) |
A. | $\sqrt{6}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ |