Question

9．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（Ⅰ）求证：$\frac{PC}{AC}=\frac{PD}{BD}$；
（Ⅱ）若AC=2，求AP•AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：△DPC∽△DBA，即可证明$\frac{PC}{AC}=\frac{PD}{BD}$；
（Ⅱ）证明△APC∽△ACD，即可求AP•AD的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，
∴△DPC∽△DBA．
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{PD}{BD}$．
又∵AB=AC，∴$\frac{PC}{AC}=\frac{PD}{BD}$…（5分）
（Ⅱ）解：∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAD，∴△APC∽△ACD．
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AD}$，∴AC²=AP•AD=4…（10分）

点评 本题考查三角形相似的性质与判定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．