题目内容

已知⊙O1:(x-1)2+y2=9,⊙O2x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)
(Ⅰ)求⊙O2半径的最大值;
(Ⅱ)当⊙O2半径最大时,试判断⊙O1和⊙O2的位置关系;
(Ⅲ)⊙O2半径最大时,如果⊙O1和⊙O2相交.
(1)求⊙O1和⊙O2公共弦所在直线l1的方程;
(2)设直线l1交x轴于点F,抛物线C以坐标原点O为顶点,以F为焦点,直线l2:y=k(x-3)(k≠0)与抛物线C相交于A、B两点,证明:
OA
OB
为定值.
(Ⅰ)x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)可以化成(x-5)2+y2=-(m-1)2+9,
设⊙O2半径为r,则r2=-(m-1)2+9≤9,∴r≤3,
所以⊙O2半径的最大值为3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当⊙O2半径最大时,⊙O1和⊙O2是半径为3的等圆,O2(5,0),
又∵⊙O1:(x-1)2+y2=9,∴O1(1,0),∴|O1O2|=4.
∴⊙O1和⊙O2相交.
(Ⅲ)(1)由(Ⅰ)知,⊙O2半径最大时的方程为(x-5)2+y2=9,它与⊙O1:(x-1)2+y2=9相交,将两方程相减得公共弦所在直线l1的方程为:x=3.
(2)由(1)知F(3,0),∵抛物线C以F(3,0)为焦点,以原点O为顶点,∴C:y2=12x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-3)(k≠0)得:x=
y
k
+3
,将它代入y2=12x化简得:ky2-12y-36k=0,
∴y1y2=-36.∴x1x2=
y21
12
y22
12
=
(y1y2)2
12×12
=9

OA
OB
=x1x2+y1y2=-27
,即
OA
OB
为定值.
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