Question

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，为棱的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由面面平行判定定理证明平面//平面即可；(Ⅱ)先证平面，且，连接，分别取所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐及平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角的余弦值.

试题解析：(Ⅰ)取中点，连接，∴，∵面，面，∴面，∴平面//平面，∵平面，∴平面.

（Ⅱ）∵，∵平面⊥平面，交线为，∴平面，且，连接，分别取所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则点，设平面的法向量为，则，∴，即，设平面的法向量为， ，∴，因此所求二面角的余弦值为.