题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)若不等式对于任意
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1) 当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;当
时,函数
在
上单调递减,在
和
上单调递增. (2)
【解析】试题分析:(1)先求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性;(2)原题等价于对任意,有
成立,设
,所以
.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,
若,则
当或
时,
单调递增;
当时,
单调递减,
若,则
当时,
单调递减;
当时,
单调递增.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;当
时,函数
在
上单调递减,在
和
上单调递增.
(2)原题等价于对任意,有
成立,
设,所以
,
,
令,得
;令
,得
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,
为
与
中的较大值,
设,
则,
所以在
上单调递增,故
,所以
,
从而,
所以,即
,
设,则
,
所以在
上单调递增,
又,所以
的解为
,
因为,所以正实数
的取值范围为
.
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