题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出
,再构造函数
,
,求它的范围.
详解:(1)函数定义域为
,且
,
,
令,
,
当,即
时,
,∴
在
上单调递减;
当,即
时,由
,解得
,
,
若,则
,∴
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减;
若,则
,∴
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增;
综上所述:时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
时,
的单调递减区间为
,
,单调递增区间为
;
时,
的单调递减区间为
.
(2)因为函数定义域为
,且
,
∵函数存在两个极值点,∴
在
上有两个不等实根
,
,
记,则
∴
,
从而由且
,可得
,
,
∴
,
构造函数,
,
则,
记,
,则
,
令,得
(
,故舍去),
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
又,
,
∴当时,恒有
,即
,
∴在
上单调递减,
∴,即
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目