题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,
且
。
(1)证明:,并求
的通项公式;
(2)构造数列求证:无论给定多么大的正整数
,都必定存在一个
,使
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)由及
,得
。由
,
及
,得
。
下面用数学归纳法证明:,即
.①
(i)当时,由
,
,知①成立。
(ii)假设时,①成立,即
,
,有
,约去
得
.移项并代入
得
.②则
。
约去得
.约去
得
,
移项并代入得
.②由式②、③知,当
时,①成立,综上得证式①成立。
合并得,这就证明了
,且求出了通项
。
(2)把代入,对
有
。
因为
,
所以,对于给定的正整数,存在一个
,使
。
说明:第(1)问用公式可得
,
但需,才能推出
,
此解法特点是“证明,并求
的通项公式”同时进行。
第(2)问的一个背景是调和级数发散,证明不是唯一的。
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