题目内容

【题目】已知椭圆)的左、右焦点分别为,过点的直线两点,的周长为的离心率

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)设点,过点轴的垂线,试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的方程;否则,说明理由.

【答案】(I);(II).

【解析】

(I)由的周长为求得椭圆的a,再离心率,然后求得椭圆的方程;

(II)设直线l:x=my+4,,联立方程,运用韦达定理,再写出直线BD的方程为:的交点,最后求解计算出与m无关,得出答案.

(I)由椭圆的定义的周长为,即4a=20,解得a=5,

又椭圆的离心率,解得c=4

所以

所以椭圆方程

(II)显然过点的直线l不垂直y轴,设l:x=my+4,

联立 ,得

韦达定理:

直线的方程为

直线BD的方程为:

解得

又点在直线l上,所以

再代入解得

代入解得(与m无关)

故直线与直线BD的交点恒落在直线上.

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