题目内容
【题目】已知椭圆:()的左、右焦点分别为,过点的直线交于,两点,的周长为, 的离心率
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设点,,过点作轴的垂线,试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的方程;否则,说明理由.
【答案】(I);(II).
【解析】
(I)由的周长为求得椭圆的a,再离心率,然后求得椭圆的方程;
(II)设直线l:x=my+4,,联立方程,运用韦达定理,再写出直线BD的方程为:与的交点,最后求解计算出与m无关,得出答案.
解:(I)由椭圆的定义,的周长为,即4a=20,解得a=5,
又椭圆的离心率,解得c=4
所以
所以椭圆方程;
(II)显然过点的直线l不垂直y轴,设l:x=my+4,
联立 ,得
韦达定理:
直线的方程为
直线BD的方程为:
解得
又点在直线l上,所以
再代入解得
又
代入解得(与m无关)
故直线与直线BD的交点恒落在直线上.
练习册系列答案
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查,发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人.南方学生中有20人不喜欢甜品.
(1)完成下列列联表:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | |||
北方学生 | |||
合计 |
(2)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(3)已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生,其中2名不喜欢甜品;有5名物理系的学生,其中1名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中,各随机抽取2人,记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:.