Question

14．已知椭圆C的对称中心为原点且焦点F₁、F₂在x轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，短轴长为4，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F₂作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，求△AF₁B的面积．

Answer 1

分析 （1）通过设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-16}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$可知a²=20，进而可得结论；
（2）通过（1）及直线AB的斜率可知直线AB方程为y=2（x-2），利用点到直线的距离公式可求得点F₁到直线AB的距离|F₁C|，通过联立直线AB与椭圆C方程，可知A、B点横坐标，进而利用两点间距离公式可求得|AB|，利用${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$•|F₁C|•|AB|计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-16}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=20，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）由（1）知F₁（-2，0）、F₂（2，0），
依题意，直线AB的方程为：y=2（x-2），
∴点F₁到直线AB的距离|F₁C|=$\frac{|2•（-2）-0-4||}{\sqrt{{2}^{2}+{（-1）}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：3x²-10x=0，
解得：x=0或$\frac{10}{3}$，
∴x_B=0、x_A=$\frac{10}{3}$，
∴y_B=2（0-2）=-4、y_A=2（$\frac{10}{3}$-2）=$\frac{8}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{10}{3}-0）^{2}+（\frac{8}{3}+4）^{2}}$
=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$•|F₁C|•|AB|
=$\frac{1}{2}•$$\frac{8\sqrt{5}}{5}$•$\frac{10\sqrt{5}}{3}$
=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．