Question

3．营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪．1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元．为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

Answer 1

分析 设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．则$\left\{\begin{array}{l}0，105x+0.105y≥0，075\\ 0，07x+0.14y≥0.06\\ 0，14x+0.07y≥0.06\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$
目标函数为z=35x+28y------------------4分
不等式组化简为$\left\{\begin{array}{l}7x+7y≥5\\ 7x+14y≥6\\ 14x+7y≥6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$
如图作出可行域（阴影部分）．---------------------------------------6分

把z=35x+28y变形为$y=-\frac{5}{4}x+\frac{z}{28}$，
由图可见，当直线z=35x+28y经过可行域上的点M时z最小．-------8分

解方程组$\left\{\begin{array}{l}7x+7y=5\\ 14x+7y=6\end{array}\right.$
得M的坐标为$（{\frac{1}{7}，\frac{4}{7}}）$--------------10分
所以z_min=35x+27y=21
故每天食用A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本21元．--------------12分．

点评 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．