Question

6．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．
（1）求证：平面CDB₁⊥平面ADD₁A₁；
（2）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为$\frac{6}{7}$，求四面体B-AB₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点E，连结BE，证明BE⊥CD，可得CD⊥AD，利用AA₁⊥平面ABCD，可得AA₁⊥CD，证明CD⊥平面ADD₁A₁，即可证明平面CDB₁⊥平面ADD₁A₁；
（2）以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AB₁C的法向量，利用直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为$\frac{6}{7}$，建立方程，可求k的值，即可求四面体B-AB₁C的体积．

解答 （1）证明：取CD的中点E，连结BE．
∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…（2分）
∴BE∥AD且BE=AD=4k．
在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．                                              …（4分）
∵AA₁⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA₁⊥CD．又AA₁∩AD=A，
∴CD⊥平面ADD₁A₁．
∵CD?平面CDB₁，
∴平面CDB₁⊥平面ADD₁A₁；…（6分）
（2）解：以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B₁（4k，3k，1），A₁（4k，0，1），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-4k，6k，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3k，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1）．
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-4kx+6ky=0}\\{3ky+z=0}\end{array}\right.$
取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（3，2，-6k）（k＞0）．　　　　　　　　　　　　…（9分）
设AA₁与平面AB₁C所成角为θ，则
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{6k}{\sqrt{36{k}^{2}+13}}$=$\frac{6}{7}$，
解得k=1，故所求k的值为1．
∴四面体B-AB₁C的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AB•AD•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3•4•1$=2…（12分）

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查线面垂直面面垂直，考查四面体B-AB₁C的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于中档题．