Question

18．如图所示，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．
（1）求二面角A-PD-C的平面角的度数；
（2）求二面角B-PA-D的平面角的度数；
（3）求二面角B-PA-C的平面角的度数；
（4）求二面角B-PC-D的平面角的度数．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的平面角的度数．
（2）由PA⊥平面ABCD，得∠BAD是二面角B-PA-D的平面角，由此能求出二面角B-PA-D的平面角的度数．
（3）由PA⊥平面ABCD，得∠BAC是二面角B-PA-D的平面角，由此能求出二面角B-PA-C的平面角的度数．
（4）求出平面PCD和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角B-PC-D的平面角的度数．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=1，则A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，1，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
又平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=0，
∴二面角A-PD-C的平面角的度数为$\frac{π}{2}$．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA，
∴∠BAD是二面角B-PA-D的平面角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠BAD=\frac{π}{2}$，即二面角B-PA-D的平面角的度数为$\frac{π}{2}$．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC是二面角B-PA-D的平面角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠BAC=\frac{π}{4}$，即二面角B-PA-C的平面角的度数为$\frac{π}{4}$．
（4）B（1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=a-c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，即二面角B-PC-D的平面角的度数为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．